QAYTMA VA YUQORI DARAJALI TENGLAMALAR

ABDULLAYEV HUMOYIDDIN BAXTIYOR O’G’LI

Fizika-Matematika fakulteti

Matematika ta’lim yo‘nalishi 3-kurs

Ilmiy rahbar: Bozorov Jo‘rabek Tog‘aymurodovich

Fizika-matematika fanlari bo‘yicha falsafa doktori.

Annotatsiya: Bizga matematika kursida ma’lumki, yuqori darajali tenglamalar deganda uchinchi, to’rtinchi darajali tenglamalarni yechishni, yechimini topishni bir necha usulini ko’rganmiz. Agar tenglamamiz to’rtinchi darajadan yuqori bo’lsa, beshinchi, oltinchi va hakazo n chi darajali bo’lsa, bunday tenglamalarni yechishni aynan ushbu maqolada ko’rib chiqamiz.

Kalit so’zlar: yuqori darajali tenglama, tenglama, ratsional tenglama, qaytma tenglama.

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 (1)

ko’rinishidagi tenglamalar yuqori darajali (butun ratsional) tenglamalar deb ataladi, bu yerda 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛𝜖 Q .

Bizga matematika kursida malumki, yuqori darajali tenglamalar deganda

uchinchi, to’rtinchi darajali tenglamalarni yechishni,yechimini topishni bir necha usilini kurganmiz. Agar tenglamamiz to’rtinchi darajadan yuqori bulsa, beshinchi,oltinchi va hakozo n chi darajali bo’lsa, bunday tenglamalarni qanday

yechamiz va yechimini qanday topamiz degan savolga quyidagi tushinchani kiritamiz.

Qaytma tenglama tushunchasi.

𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛−1 + 𝑐𝑥𝑛−2+. . . + 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0 (2)

ko’rinishidagi butun algebraik tenglama qaytma tenglama deyiladi.

Bunda tenglamaning boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda joylashgan hadlarning koeffitsiyentlari bir biriga teng bo’ladi. Qaytma tenglamaning ildizlari hech biri nolga teng emasligini ko’rish oson.

Qaytma tenglamani yechishni ikki holatini qaraymiz,

1) n = 2k.

2) n = 2k + 1.

Oldin juft ( n = 2k ) darajali qaytma tenglamani qaraymiz. Tenglamani har ikkala qimini 𝑥𝑘 ga bo’lib, hadlarni gurhlash natijasida uni quyidaga ko’rnishga keltiramiz.

𝑎(𝑥𝑘 + 1

𝑥𝑘) + 𝑏(𝑥𝑘−1 + 1

𝑥𝑘−1)+. . . +ℓ(𝑥 + 1

𝑥) + f = 0 (3)

Agar (3) tenglamada 𝑥 + 1

𝑥 = 𝑦 desak, ketma – ket quyidagilarni topamiz:

𝑥2 + 1

𝑥2 = 𝑦2 − 2, 𝑥3 + 1

𝑥3 = 𝑦3 − 3𝑦, ... (4)

(4) ni (3) ga qo’yib y ga nisbatan k darajali tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamani yechib har bitta yechimini 𝑥2 − 𝑦𝑥2 + 1 = 0 tenglamadagi y ga quyib, (2) tenglamaning umumiy yechimi topiladi.

Misol-1. Ushbu

21𝑥6 + 82𝑥5 + 103𝑥4 + 164𝑥3 + 103𝑥2 + 82𝑥 + 21 = 0

Yechish: Tenglamani har ikkala qismni 𝑥3 ga bo’lamiz:

21 (𝑥3 + 1

𝑥3) + 82 (𝑥2 + 1

𝑥2) + 103 (𝑥 + 1

𝑥) + 164 = 0

Agar 𝑥 + 1

𝑥 = 𝑡 desak, 𝑥2 + 1

𝑥2 = 𝑡2 − 2, 𝑥3 + 1

𝑥3 = 𝑡3 − 3𝑡 bo’ladi.Natijada

t ga nisbatan tenglamaga ega bo’lamiz:

21𝑡3 + 82𝑡2 + 40 𝑡 = 0 ⟹ 𝑡(21𝑡2 + 82𝑡 + 40) = 0.

Bu tenglama ikki tenglamaga ajraladi 𝑡1 = 0 va 𝑡2 = − 4

7 , 𝑡3 = − 10

Agar 1) 𝑡1 = 0 bo’lsa, 𝑥 + 1

𝑥 = 0 ⟹ 𝑥2 + 1 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz va uningildizlari 𝑥1 = −𝑖, 𝑥2 = 𝑖 ga teng bo’ladi.

2) 𝑡2 = − 4

7 bo’lsa, 7𝑥2 + 4𝑥 + 7 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz va uningildizlari 𝑥3 = −2−3𝑖√5

7 , 𝑥4 = −2+3𝑖√5

7 ga teng bo’ladi.

3) 𝑡3 = − 10

3 bo’lsa, 3𝑥2 + 10𝑥 + 3 = 0 tenglamaga ega bo’lamiz va uningildizlari 𝑥5 = − 1

3 , 𝑥6 = −3 ga teng bo’ladi.

Javob: 𝑥1 = −𝑖, 𝑥2 = 𝑖 , 𝑥3 = −2−3𝑖√5

7 , 𝑥4 = −2+3𝑖√5

7 , 𝑥5 = − 1

3 , 𝑥6 = −3.

Toq darajali (n = 2k + 1) qaytma tenglamani yechish juft darajali qaytma

tenglamani ychishga keltiriladi.

𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 − 24𝑥 − 32 = 0

Yechish: Bu tenglama beshinchi darajali qaytma tenglama bo’lib, 𝜆 = −2 ga teng. Tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

𝑥5 + 3𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 ∙ (−2) + 3𝑥 ∙ (−2)3 + (−2)5 = 0.

𝑥 = 2 tenglamaning ildizi bo’ladi, bundan tenglamaning chap qismi

𝑥5 − 32 + 3𝑥4 − 24𝑥 − 𝑥3 + 2𝑥2 = 0

(𝑥5 − 32) + 3𝑥(3𝑥3 − 8) − 𝑥2(𝑥 − 2) = 0

Ko’paytivchilarga ajratamiz:

(𝑥 − 2)(𝑥4 + 2𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 16) + 3𝑥 (𝑥 − 2)( 𝑥2 + 2𝑥 + 4) − 𝑥2 (𝑥 − 2) = 0

(𝑥 − 2)(𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 20𝑥 + 16) = 0

1) 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 2.

2) 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 20𝑥 + 16 = 0 tenglama to’rtinchi darajali qaytma tenglama bo’lib, bunda 𝜆 = 4 ga teng.

𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 5 ∙ 𝑥 ∙ 4 + 42 = 0

𝑥 = 0 tenglamaning ildizi emas. Tenglamaning ikkala tomonini 𝑥2 ga bo’lamiz:

𝑥2 + 5𝑥 + 9 + 20

𝑥 + 16

𝑥2 = 0 𝑦𝑜𝑘𝑖 (𝑥2 + 16

𝑥2 ) + 5(𝑥 + 4

𝑥) + 9 = 0.

𝑥 + 4

𝑥 = 𝑦 deb belgilash kiritamiz va 𝑥2 + 16

𝑥2 = 𝑦2 – 8 ni hosil qilamiz.

topilganlarni oxirgi tenglamaga quyamiz:

𝑦2 – 8 + 5𝑦 + 9 = 0 ⇒ 𝑦2 + 5𝑦 + 1 = 0.

Quyidagi tenglamaga kelamiz.Bu tenglamani ildizlarini topamiz:D = 25 − 4=21>0.

𝑦1,2 = −5 ± √21

2 ⇒ 𝑦1 = −5 − √21

2 ; 𝑦2 = −5 + √21

2 .

Demak, tenglama quyidagi tenglamalar juftligiga teng kuchli:

1) 𝑥 + 4

𝑥 = −5 − √21

2 ⇒ 2𝑥2 + (5 + √21)𝑥 + 8 = 0.

2) 𝑥 + 4

𝑥 = −5 + √21

2 ⇒ 2𝑥2 + (5 − √21)𝑥 + 8 = 0.

Ikkinchi tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas. Birinchisining ildizlari

𝑥1 = −5 − √21 − √10√21 − 18

4 ; 𝑥2 = −5 − √21 + √10√21 − 18

Javob: {2 , −5 − √21 ± √10√21−18

4 }.

𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝜆𝑏𝑥 + 𝜆2𝑎 = 0, (𝑎 ≠ 0, 𝜆 ≠ 0)

ko’rinishidagi tenglamalar to’rtinchi darajali qaytma tenglamalar deyiladi.

Simetrik tenglamalar qaytma tenglamalarning xususiy holi hisoblanadi.

Masalan, 𝜆 = 1 da to’rtinchi darajali qaytma tenglama to’rtinchi darajali sim-

metrik tenglamaga aylanadi.

To’rtinchi darajali qaytma tenglamani yechish uchun tenglamaning ikkala

tomonini 𝑥2 ga bo’lsak:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝜆𝑏

𝑥 + 𝜆2𝑎

𝑥2 = 0. (1)

(1) ko’rnishidagi tenglama hosil bo’ladi. (1) tenglamani bir xil foeffitsiyentli

𝑎(𝑥2 + 𝜆2

𝑥2) + 𝑏(𝑥 + 𝜆

𝑥) + 𝑐 = 0. (2)

hosil bo’ladi. Bunda 𝑥 + 𝜆

𝑥 = 𝑦 deb belgilash kiritamiz va

(𝑥 + 𝜆

𝑥) 2 = 𝑦2 => 𝑥2 + 2𝑥 ∙ 𝜆

𝑥 + 𝜆2

𝑥2 = 𝑦2 => 𝑥2 + 𝜆2

𝑥2 = 𝑦2 − 2𝜆

ni hosil qilamiz. Bu qiymatlarni (2) ga qo’ysak, 𝑎(𝑦2 − 2𝜆) + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

yoki 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + (𝑐 − 2𝑎𝜆) = 0. Bu kvadrat tenglamani 𝑦 ga nisbatan yechamiz:

Agar 𝐷 ≥ 0 bo’lsa, 𝑦1 𝑣𝑎 𝑦2 ildizlar topiladi. Bu qiymatlarni yuqoridagi

belgilashga qo’yamiz:

1) 𝑥 + 𝜆

𝑥 = 𝑦1 2) 𝑥 + 𝜆

𝑥 = 𝑦2

Bu iki tenglamani yechib, to’rtinchi darajali qaytma taenglamaning ildiz-

larini topamiz.

3𝑥4 − 4𝑥3 − 3𝑥2 − 8𝑥 + 12 = 0

Yechish: 𝑥 = 0 berilgan tenglamaning ildizi emas. Tenglamaning ikkala tomonini 𝑥2 ga bo’lamiz:

3𝑥2 − 4𝑥 − 3 − 8

𝑥 + 12

𝑥2 = 0 ⇒ 3(𝑥2 + 4

𝑥2) − 4(𝑥 + 2

𝑥) − 3 = 0.

𝑥 + 2

𝑥 = 𝑦 belgilash kiritamiz. Bunda 𝑥2 + 4

𝑥2 = 𝑦2 – 4 ekanligini

topamiz va oxirgi tenglamaga qo’yamiz:

3(𝑦2 – 4) − 4𝑦 − 3 = 0 ⇒ 3𝑦2 − 4𝑦 − 15 = 0.

Kvadrat tenglamani yechib, ildizlari 𝑦1 = −5

3 𝑣𝑎 𝑦2 = 3 ekanligini aniqlaymiz. Keyin belgilashga qaytamiz:

1) 𝑥 + 2

𝑥 = −5

3 ⇒ 3𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 ∈ ∅ .

2) 𝑥 + 2

𝑥 = 3 ⇒ 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2.

Javob: {1,2}.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. A.U.Abduhamidov, H.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.H.Husanov ‘‘Algebra va

matematik analiz asoslari ’’ 1-2 qism. ‘‘ O’quvchi ’’.T.2008.

2. Nassiet S , Torte D , Rivoallan L , Matematik Analiz. Didier, Paris, 1995.

3. Alimov Sh.A va b. Algebra va analiz asoslari, 10-11. ‘‘ O’qituvchi’’, 1996 .

4. http://www.ziyonet.uz

5. http://www.edu.u