BETA VA GAMMA FUNKSIYA VA UNING TADBIQLARI

ABDULLAYEV HUMOYIDDIN BAXTIYOR O’G’LI

Fizika-Matematika fakulteti

Matematika ta’lim yo‘nalishi 3-kurs

Ilmiy rahbar: Bozorov Jo‘rabek Tog‘aymurodovich

Fizika-matematika fanlari bo‘yicha falsafa doktori.

Annotatsiya: Ushbu maqolada Beta hamda Gamma funksiya hamda ularning tadbiqlarini o’rganib chiqamiz.

Kalit so’zlar: Beta funksiya, Gamma funksiya, integral, Eyler integrali, I tur Eyler integrali, II tur Eyler integrali.

Beta funksiya [ I tur Eyler integrali ].

1.1-Tarif.

∫ 𝑥𝑎−1(1 − 𝑥)𝑏−1𝑑𝑥

integral beta finksiy yoki 𝐼 tur Eyler integrali deb ataladi va B(a, b) kabi belgilanadi. De-mak

𝐵 (a, b) = ∫ 𝑥𝑎−1(1 − 𝑥)𝑏−1𝑑𝑥

(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)

Gamma funksiya [ II tur Eyler integrali ].

1.2-Tarif.

∫ 𝑥𝑎−1𝑒−𝑥 𝑑𝑥

integral gamma funksiya yoki II tur Eyler integrali deb ataladi va Г (a) kabi belgilanadi. Demak

Г (a) = ∫ 𝑥𝑎−1𝑒−𝑥 𝑑𝑥

(0, +∞)

Biz quyida B(a, b) va Г (a) funksiyalar orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan formulani keltiramiz.

Ma’lumki, Г (a) funksiya (0, + ∞) da, B(a, b) funksiya esa 𝑅2 fazodagi M = {(a, b) ∈ ∈ 𝑅2 : a ∈ (0, + ∞), b ∈ (0, + ∞) } to’plam berilgan.

1.1– Teorema. ∀ (a, b) ∈ 𝑀 uchun

B(a, b) = Г (a) ∙ Г (b)

Г (a + b)

fo’rmula o’rinlidir.

Isbot. Ushbu

Г (a + b) = ∫ 𝑥𝑎+𝑏−1

∙ 𝑒−𝑥𝑑𝑥

( a > 0, b > 0) gamma funksiyada o’zgaruvchni quyidagicha almashtiramiz:

x = (1 + t) y (t > o).

Natijada quyidagiga ega bo’lamiz:

Г (a + b) = ∫ (1 + 𝑡)𝑎+𝑏−1 ∙ 𝑦𝑎+𝑏−1

𝑒−(1+𝑡)𝑦 ∙ (1 + 𝑡)𝑑𝑦 =

= (1 + 𝑡)𝑎+𝑏 ∫ 𝑦𝑎+𝑏−1

𝑒−(1+𝑡)𝑦 𝑑𝑦.

Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:

Г (a + b)

(1 + 𝑡)𝑎+𝑏 = ∫ 𝑦𝑎+𝑏−1

𝑒−(1+𝑡)𝑦 𝑑𝑦

Bu tenglikning har ikki tomonini 𝑡𝛼−1 ga ko’paytirib, natijani (0, + ∞) oraliq bo’yicha intigrallaymiz:

Г (a + b) ∫ 𝑡𝑎−1

= ∫ [∫ 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

Agar

∫ 𝑡𝑎−1

= 𝐵(𝑎, 𝑏) (1)

(1) formulaga ko’ra

Г (a + b) ∙ 𝐵(a, b) = ∫ [∫ 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

(2)

bo’ladi. Endi (2) tenglikning o’ng tomonidagi integral Г (a ) ∙ Г (b) ga teng bo’lishini isbotlaymiz. Uning uchun, avvalo bu integrallarda integrallash tartibini almashtirish mumkinligini ko’rsatamiz. Buning uchun biz parametirga bog’liq xosmas integrallarni parameter bo’yicha integralash mavzusizdagi (17.19 – teoremadan) foydalanamiz.

17.19-Teorema shartlari bajarilishini ko’rsatishimiz kerak.

Dastlab a > 1, b > 1 bo’lgan holni qaraylik.

a > 1, b > 1 da, yani {(a, b) ∈ 𝑅2 : a ∈ (1, + ∞), b ∈ (1, + ∞) } to’plamda integral ostidagi

𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑡𝑎−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

funksiya ∀ (𝑡, 𝑦) ∈ {(𝑡, 𝑦) ∈ 𝑅2 ∶ 𝑡 ∈ [0, + ∞), 𝑦 ∈ [0, + ∞) } da uzluksiz bo’lib, 𝑓(𝑡, 𝑦) = 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑡𝑎−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦 ≥ 0 bo’ladi.

Ushbu

∫ 𝑓(𝑡, 𝑦)

𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑎−1 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

𝑑𝑡

integral y o’zgaruvchining [0, + ∞) oraliqdagi uzluksiz fungsiyasi bo’ladi, chunki

∫ 𝑡𝑎−1 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

𝑑𝑡 = Г(𝑎) ∙ 𝑦𝑏−1𝑒−𝑦 va nihoyat, yuqoridagi (2) munosabatga ko’ra

𝑑𝑦] 𝑑𝑡 integral yaqinlashuvchi kelib chiqadi.

U holda 17.19 Teoremaga asosan

𝑑𝑡] 𝑑𝑦 integral ham yaqinlashuvchi bo’lib,

𝑑𝑦] 𝑑𝑡 = ∫ [∫ 𝑡𝑎−1 𝑦𝑎+𝑏−1 𝑒−(1+𝑡)𝑦

𝑑𝑡] 𝑑𝑦 bo’ladi. O’ng tomondagi integralni hisoblasak,

𝑑𝑦] 𝑑𝑡 =

= ∫ 𝑦𝑏−1 𝑒−𝑦

Г(𝑎)𝑑𝑦 = Г(𝑎) ∙ Г(𝑏). (3)

tenglik kelib chiqadi.

Natijada (2) va (3) munosabatlardan

Г (a + b) ∙ 𝐵(a, b) = Г(𝑎) ∙ Г(𝑏)

yani

𝐵(a, b) = Г(𝑎) ∙ Г(𝑏)

Г(𝑎 + 𝑏) (4)

bo’lishi kelib chiqadi.

2.1 – Natija. ∀ 𝑎 ∈ (0, 1) uchun

sin a 𝜋 (6)

Haqiqattan ham, (4) formula b = 1 – a (0 < a < 1) deyilsa, unda

𝐵(a, 1 − a) = Г(𝑎) ∙ Г(1 − 𝑎)

Г(1)

Xususan beta funksiyada b = 1 – a (0 < a < 1) bo’lganda

𝐵 (a, 1 − a) = ∫ 𝑡𝑎−1

1 + 𝑡 𝑑𝑡

= 𝜋

sin a 𝜋 (7) (7) munosabat o’rinli bo’ladi. (7) va Г(1) = 1 munosabatlarga muofiq

sin a 𝜋 (0 < a < 1).

(6) formula keltirish formulasi deb ataladi.

Misol. Ushbu integralni hisoblamg.

Yechish. Integralni hisoblaymiz .

[1]

[1] integralni 𝐈 bilan belgilab olamiz

I = ∫ sin(𝑥) ln 𝑥

[2].

Endi S parametirga bog’liq xosmas integral olamiz

𝑥𝑠 𝑑𝑥 [3]

bu integral S ≥ 1 o’suvchi bo’ladi. [3] integralni S bo’yicha ikkala tomoni ham differen- sialaymiz

𝑑

𝑑𝑠 I(s) = 𝑑

𝑑𝑠 ∫ sin(𝑥)

𝑥𝑠 𝑑𝑥 [4]

[4] tenglama hosil bo’ladi. [4] tenglamani yechsak

𝑑

𝑑𝑠 I(s) = 𝑑

𝑑𝑠 ∫ sin(𝑥)

𝑥𝑠 𝑑𝑥 = ∫ 2

2𝑠

sin 𝑥

teng bo’ladi. 2

2𝑠 𝑥−𝑠 = −𝑥−𝑠 ln 𝑥 ga tenglasak

I′(s) = − ∫ sin 𝑥

𝑥𝑠 ln 𝑥 𝑑𝑥 [5]

[5] tenglamaga kelamiz. Bunda −I′ (s = 1) = I yani [5] tenglama [2] tenglamaga teng bo’ladi.

Endi [1] integralni yechish uchun [3] integraldan foydalanamiz

= ∫ sin 𝑥 1

[6]

bo’ladi. Gamma fungsiyadan foydalanib

𝐼1 = ∫ 𝑡𝑠−1𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑡

[7]

[7] da tx = u deb t bo’ycha differensialasak va dt = 1

𝑥 𝑑𝑢 ni topsak, [7] tenglama

𝐼1 = ∫ 𝑢𝑠−1

𝑥𝑠−1

𝑑𝑢

𝑥 = 1

𝑥𝑠

∫ 𝑢𝑠−1𝑒−𝑢𝑑𝑢

𝐼1 = 1

𝑥𝑠 ∫ 𝑢𝑠−1𝑒−𝑢𝑑𝑢 [8]

[8] ko’rnishida bo’ladi.Bunda [8] ni chap tomonidagi integral Г(𝑠) teng.

Г(𝑠) = ∫ 𝑢𝑠−1𝑒−𝑢𝑑𝑢

[8] ni chap tomonidagi integral o’rniga Г(𝑠) ni qo’ysak

𝐼1 = 1

𝑥𝑠 Г(𝑠) [9]

[9] ga teng bo’ladi. Bunda

𝑥𝑠 = 1

belgilab, [6] ga quysak

I(s) = ∫ sin 𝑥 { 1

} 𝑑𝑥

[10]

teng.

I(s) = ∫ sin 𝑥 { 1

} 𝑑𝑥 = 1

Г(𝑠) ∫ ∫ (sin 𝑥

)𝑡𝑠−1𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑡𝑑𝑥

I(s) = 1

Г(𝑠) ∫ ∫ (sin 𝑥

)𝑡𝑠−1𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡 = 1

Г(𝑠) ∫ 𝑡𝑠−1 {∫ (sin 𝑥) 𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥

} 𝑑𝑡

bo’laklab integralasak

∫ (sin 𝑥) 𝑒−𝑡𝑥𝑑𝑥

= 1

1 + 𝑡2

ga teng bo'ladi.

I(s) = 1

Г(𝑠) ∫ 𝑡𝑠−1

1 + 𝑡2 𝑑𝑡

bunda 𝑡2 = 𝑦 => 𝑑𝑡 = 1

2 𝑦−1 2⁄ 𝑑𝑦 belgilab integralga quysak

I(s) = 1

2Г(𝑠) ∫ 𝑦𝑠−1

2 𝑦−1 2⁄

1 + 𝑦 𝑑𝑦 =

2Г(𝑠) ∫ 𝑦𝑠

2−1

1 + 𝑦 𝑑𝑦

𝑠

2 = 𝑧 deb

∫ 𝑦𝑧−1

1 + 𝑦 𝑑𝑦 = Г(𝑧)Г(1 − 𝑧) = 𝜋

sin 𝑧𝜋

I(s) = 1

2Г(𝑠)

𝜋

sin 𝑧𝜋 [11]

[11] ga teng bo’ladi. Bunda 𝑧 = 𝑠

2 [11] ga oborib qo’yamiz

I(s) = 1

2Г(𝑠)

𝜋

[12]

teng bo’ladi.

Agar 𝐼 = −𝐼(𝑠 = 1) bo’lsa, [12] tenglamadan s bo’yicha hosila olsak

I′(𝑠) = 𝜋

2 {−Г′(𝑠)

Г2(𝑠)

− 1

2Г(𝑠) ∙ − cos 𝑠𝜋

(sin 𝑠𝜋

2 )2}

I′(1) = 𝜋

2 {−Г′(1) 1

sin 𝜋

− 1

2 ∙ − cos 𝜋

(sin 𝜋

2)2}

I′(1) = − 𝜋

2 Г′(1)

bunda −Г′(1) = 𝛾 ga teng

I′(1) = − 𝜋

2 Г′(1) = 𝜋𝛾

= 𝜋𝛾

2 .

teng bo’ladi. Misol yechildi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. T.Azlariv X.Mansurov Matematik Analiz 2-qisim toshkent “O’zbekiston “ 1995-yil.

2. Б.П.Демитович Сборник задач и упреажнений по математичискомй анализу Маскуа “наука” 1990-год

3. G.M.Fixtemgolvis matematik analiz asoslari 2-qisim Toshkent “O’zbekiston “ nashriyoti 2-qisim 1972-yil .

4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического

анализа.- М.: Наука, 1985.

5. Бруй И.Н., Гаврилюк А.В и др. Лабораторный практикум по

математическому анализу. - Минск.: Вышей школа, 1991.