О разрешимости однородной системы частично- интегралных уравнений специального вида

О разрешимости однородной системы частично- интегралных уравнений

специального вида

Хайруллаев Исматулла Нуруллаевич

Термезский университет эканомики и сервиса Доцент кафедры“Эканомики и

точных наук”

Tel: 93-221-08-59

xayrullayev0809@mail.ru

Кучимов Мухриддин Бахриддин ўғли

Термизский государственний университет магистр 2-курса

Тел:902251777

muxrddinkuchimovofficial@gmail.com

Расмотрим однородную систему линейных частично- интегралных уравнений вида

(1) {

𝑓0 + 𝜆1 ∫ 𝑎1(𝑡)𝑓1(𝑡)𝑑𝑡 = 0

𝑎

𝑓0 + 𝑓1(𝑥) + 𝜆2𝑎2(𝑥) ∫ 𝑎2(𝑡)𝑓1(𝑡)𝑑𝑡 + 𝜆3𝑎3(𝑥) ∫ 𝑎3(𝑡)𝑓2(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡

𝑎 = 0

𝑎

𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥, 𝑦) + 𝜆4𝑎4(𝑥) ∫ 𝑎4(𝑡)𝑓2(𝑡, 𝑦)𝑑𝑡 + 𝜆5𝑎5(𝑦) ∫ 𝑎5(𝑡)𝑓2(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡

𝑎 = 0

𝑎

где фунции𝑎𝑗(∙) , 𝑗 = 1,5̅̅̅̅ принадлежат пространству 𝐿2[𝑎, 𝑏]𝑓0 ∈ 𝐶1, 𝜆𝑖, 𝑖 = 1,5̅̅̅̅ - числовые параметры;

𝑓2(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐿2([𝑎, 𝑏]2), 𝑓1(𝑥) ∈ 𝐿2[𝑎, 𝑏] искомые функции.

В этой заметке изучена разрешимост однородной системы (1) при всех значениях параметров 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,5̅̅̅̅ кроме случая 𝜆𝑖 ≠ 0 , 𝑖 = 1,5̅̅̅̅

Всюду в далнейшем интеграл понимается по отрезку [𝑎, 𝑏].

Основными результатами являются следующие.

Пусть детерминанты 𝐷1(𝜆1) = 1 + 𝜆1 ∫ 𝑎1

2(𝑡)

𝑎 𝑑𝑡Фредгольма [1] ядра 𝑎1(𝑡)

Теорема 1.Пусть 𝜆1 ≠ 0 , 𝜆2 = 𝜆3 = 𝜆4 = 𝜆5 = 0,тогда

а) если𝐷1(𝜆1) ≠ 0 , то система (1) имеет только нулевое решение:

( 𝑓0

𝑓1(𝑥)

𝑓2(𝑥,𝑦)

) = (0

)

б) если 𝐷1(𝜆1) = 0 , то однородная система имеет решение

𝑓0 = 𝑓0 , 𝑓1(𝑥) = 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑓0 , 𝑓0 ∈ 𝐶1 , 𝑓0 ≠ 0

𝐷2(𝜆2) = 1 + 𝜆2 ∫ 𝑎2

2(𝑡)𝑑𝑡детерминантФредгольма ядро К(𝑥, 𝑡) = 𝑎2(𝑥)𝑎2(𝑡).

Теорема 2. Пусть 𝜆2 ≠ 0 , 𝜆1 = 𝜆3 = 𝜆4 = 𝜆5 = 0 . Тогда:

а) если 𝐷2(𝜆2) = 0 то однородная система (1) имеет решение вида

( 𝑓0

𝑓1(𝑥)

𝑓2(𝑥,𝑦)

) = ( 0

с𝑎2(𝑥)

−с𝑎2(𝑥)

)

б) если 𝐷1(𝜆1) ≠ 0 то система имеет только нулевое решение.

Аналогичные результаты как в теореме (2) получено и в случаях:

1) 𝜆3 ≠ 0, 𝜆𝑖 = 0 , 𝑖 = 1, 2, 4, 5;

2) 𝜆4 ≠ 0, 𝜆𝑖 = 0 , 𝑖 = 4;

3) 𝜆5 ≠ 0, 𝜆𝑖 = 0 , 𝑖 = 5;

Теорема 3. Пусть 𝜆1 ≠ 0 , 𝜆2 ≠ 0 , 𝜆3 = 𝜆4 = 𝜆5 = 0 и Тогда :

а) если 𝐷1(𝜆1) ≠ 0 , то

1) при ∫ 𝑎1(𝑡)𝑎2(𝑡)𝑑𝑡 = 0имеет решение вида 𝑓0 = 0 ,𝑓1(𝑥) = −𝜆2с𝑎2(𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝜆2с𝑎2(𝑥) где с – произволная постоянная,

𝑓0 = 𝐴(𝑎1, 𝑎2) ,𝑓1(𝑥) = −𝑐1 − 𝜆2с2𝑎2(𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑐1 + 𝜆2с2𝑎2(𝑥)

где𝐴(𝑎1, 𝑎2) = с𝜆1𝜆2 ∫ 𝑎1(𝑡)𝑎2(𝑡)𝑑𝑡

𝐷1(𝜆1) = сˊ. 𝑐1 , с2 , сˊ постоянные.

б) если 𝐷1(𝜆1) = 0 , то

1) при ∫ 𝑎1(𝑡)𝑎2(𝑡)𝑑𝑡 = 0 система (1) имеет решение вида

𝑓0 = 𝑐1 , 𝑓1(𝑥) = −𝑐1 − 𝜆2с2𝑎2(𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑐1 + 𝜆2с2𝑎2(𝑥)

где𝑐1 , с2 − константы;

𝑓0 = 𝑐2 , 𝑓1(𝑥) = −𝑐2 − 𝑐𝑎2(𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝑐2 + 𝑐𝑎2(𝑥)где с- постоянная.

Отметим, что в случаях когда двое из параметров отличны от нуля, а остальные равны нулю имеют аналогичные теоремы.

Теперь пусть D(𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3) = 1 − ∫[∑ 𝜆𝑘𝑎𝑘

𝑘=1 (𝑡)]𝑑𝑡детерминантиФредгольма ядро 𝑘(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝜆𝑘𝑎𝑘

𝑘=1 (𝑥)𝑎𝑘(𝑡).

Теорема 4.Пусть 𝜆1 ≠ 0 , 𝜆2 ≠ 0 , 𝜆3 ≠ 0, 𝜆4 = 𝜆5 = 0 Тогда:

а) еслиD(𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3)≠ 0, то система (1) имеет решение вида 𝑓0 = 𝜆 ∑ 𝑐𝑘𝜆𝑘

2 ∫ 𝑎𝑘

2(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑐3

𝑘=1 , 𝑓1(𝑥) = ∑ 𝜆𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖

𝑖=1 (𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = − ∑ 𝜆𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖

𝑖=1 (𝑥)

б) если D(𝜆1, 𝜆2 , 𝜆3)= 0 , то система (1) имеет только нулевое решение.

Аналогичные теоремы можно сформулировать и при остальных случаях когда трое из параметров отличны от нуля и остальные равны нулю.

Теорема 5. Пусть 𝜆𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,4̅̅̅̅ , 𝜆5 = 0 и

𝐷4(𝜆4) = 1 + 𝜆4 ∫ 𝑎4

2(𝑡)𝑑𝑡 ≠ 0 Тогда:

а) еслиD(𝜆ˊ1 , 𝜆ˊ2 , 𝜆ˊ3)=1+∑ 𝜆𝑗

2 ∫ 𝑎𝑗

2(𝑡) 𝑑𝑡 = 03

𝑗=1 , то система (1) имеет решение вида 𝑓0 = 𝑐2 , 𝑓1(𝑥) = 𝐴1(𝑥) , 𝑓2(𝑥, 𝑦) = 𝐵1(𝑥) , где

𝑐 = −𝜆1 ∑ 𝜆ˊ𝑖𝑐𝑖 ∫ 𝑎𝑖 (𝑡)𝑎ˊ𝑖(𝑡)𝑑𝑡3

𝑖=1 , 𝐴1(𝑥) = ∑ 𝜆ˊ𝑗𝑎̂𝑗

𝑗=1 (𝑥)𝑐𝑗 ,

𝐵1(𝑥) = 𝜆4𝑎4(𝑥)

𝐷4(𝜆4) ∑ 𝜆ˊ𝑖𝑐𝑖 ∫ 𝑎4(𝑡) 𝑎̂𝑖(𝑡)𝑑𝑡

𝑖=1

;

б) если D(𝜆ˊ1 , 𝜆ˊ2 , 𝜆ˊ3)≠ 0 , то система (1) имеет только нулевое решение.

Список литературы

1. Смирнов В.И. “Курс высшей математики ” Т.4. , Часть I. ,M.

“Наука”, 1974 г

2. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики.

М.: Мир. 1977, 1, Функциональный анализ.

3. Хайруллаев И.Н. Некоторые частично-интегральные операторы и их

спектральные свойства //Кандидатская диссертационная работа. Ташкент,

2001.