SIMMETRIK LEYBNITS ALGEBRALARI VA ULARNING LI ALGEBRALARI BILAN BOG’LANISHI

ALGEBRALARI BILAN BOG’LANISHI

Abdurashidov Nuriddin G’iyoziddin o’g’li , Eshtemirov Eshtemir Salim o’g’li

Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti.

Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti.

Surxondaryo, O’zbekiston

abdurashidovnuriddin9550@gmail.com. eshtemireshtemirov577@gmail.com

SYMMETRIC LEIBNIZ ALGEBRAS AND THEIR RELATION WITH LIE

ALGEBRAS

Abdurashidov Nuriddin G’iyoziddin o’g’li 1,a, Eshtemirov Eshtemir Salim o’g’li 2,b Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti. Denov tadbirkorlik va pedagogika instituti. Surxondaryo, O’zbekiston abdurashidovnuriddin9550@gmail.com. eshtemireshtemirov577@gmail.com

СИММЕТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА И ИХ СВЯЗЬ С АЛГЕБРАМИ

ЛИ Деновский институт предпринимательства и педагогики Деновский институт предпринимательства и педагогики. Сурхандарьинская, Джизакская, Узбекистан abdurashidovnuriddin9550@gmail.com. eshtemireshtemirov577@gmail.com

ANNOTATSIYA

Zamonaviy algebrada noassotsiativ algebralarni, ularning xususiyatlarini va strukturasini o‘rganish muhim masalalardan biri hisoblanadi. Ma’lumki, Li algebralari noassosiativ algebralarning muhim sinflaridan hisoblanib, Leybnits algebralari Li algebralarining antisimmetrik analogi umumlashmasi hisoblanadi.

Ushbu ishda Leybnits algebralaridagi Leybnits ayniyati isbotlari keltirilgan. Har qanday mukammal simmetrik Leybnits algebrasi Li algebrasi bo’lishi keltirilgan. Simmetrik ∑ 𝜇 −algebrasida ayniyatlar keltirilgan. Leybnits algebralarining markaziy kengaytmasi va Li ∑ 𝜇 −algebralarining markaziy kengaytmasiga ega ekanligi isbotlangan.

ANNOTATION

In modern algebra, the study of non-associative algebras, their properties and structure is one of the important issues. It is known that Lie algebras are one of the important classes of non-associative algebras, and Leibniz algebras are generalizations of the antisymmetric analogue of Lie algebras.

In this work, proofs of the Leibniz theorem in Leibniz algebras are given. It is shown that any perfectly symmetric Leibniz algebra is a Lie algebra. In the symmetric 𝜇 −algebra, the properties are given. It is proved that Leibniz algebras have a central extension and Lie 𝜇 −algebras have a central extension.

АННОТАЦИЯ

В современной алгебре изучение неассоциативных алгебр, их свойств и строения является одним из важных вопросов. Известно, что алгебры Ли — один из важных классов неассоциативных алгебр, а алгебры Лейбница — обобщения антисимметричного аналога алгебр Ли.

В этой работе даются доказательства теоремы Лейбница в алгебрах Лейбница. Показано, что любая совершенно симметричная алгебра Лейбница является алгеброй Ли. В симметричной 𝜇 −алгебре свойства заданы. Доказано, что алгебры Лейбница имеют центральное расширение, а 𝜇 −алгебры Ли имеют центральное расширение.

Kalit so’zlar: Lie algebralari, Leybnits algebralari, Simmetrik Leybnits algebra, Lie guruhlari.

Keywords: Lie algebras, Leibniz algebras, Symmetric Leibniz algebra Lie groups,

Ключевые слова: Алгебры Ли, алгебры Лейбница, симметричные алгебры Лейбница, группы Ли.

Leybnits algebralari sinfi jadal suratda о‘rganilmoqda. Leybnits algebralari Li algebralarining umumlashmasi, ushbu algebralar Li algebralarining о‘ziga xos xususiyatlarini saqlaydi. Li algebralari nazariyasining kо‘plab klassik natijalari Leybnits algebralari misolida ham tarqaladi.

Ta’rif.1. Agar 𝐿 to‘plamda bichiziqli ∗ amal aniqlangan bo‘lib quyidagi munosabatlar o‘rinli bo‘lsa: (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑥 ∙ 𝑧 va 𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 (1) u holda 𝐿 to‘plamga algebra deyiladi.

Ta’rif.2. Agar 𝐿 algebrada ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿 (𝑥 ∙ 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ (𝑦 ∙ 𝑧) bajarilsa, u holda bu algebra assosiativ algebra deyiladi.

Ta’rif.3. 𝐹 maydonda L vektor fazo berilgan bo‘lib, 𝐹 maydonda Li algebrasi deb quyidagi aksiomalar bajariluvchi algebraga aytiladi:

(𝐿1) [𝑥, 𝑦] = – [𝑦, 𝑥] tenglik barcha 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐿 da aniqlangan bichiziqli amal;

(𝐿2) [𝑥, 𝑥] = 0 tenglik barcha 𝑥 ∈ 𝐿 uchun o‘rinli; (𝐿3) [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] + [[𝑧, 𝑥], 𝑦] = 0 (𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿). (2) Ushbu (2) aksioma Yakobiy ayniyati deb ataladi.

Shuni ta’kidlash joizki, [𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦] ko‘paytmaga (𝐿1) va (𝐿2) aksiomalarni qo‘llash orqali quyidagi munosabat kelib chiqadi:

(𝐿2)′ [𝑥, 𝑦] = – [𝑦, 𝑥]. (va aksincha, agar char 𝐹 ≠ 2 bo‘lsa, u holda (𝐿2)′ tengsizlikdan (𝐿2) kelib chiqadi. (𝐿2)′ tenglik esa antikommutativlik ayniyati deb ataladi. Ta’rif.4. 𝔽 maydon ustida aniqlangan ℒ algebraning ixtiyoriy 𝑥, 𝑦, 𝑧 elementlari uchun quyidagi Leybnits ayniyati bajarilsa, [𝑥, [𝑦, 𝑧]] = [[𝑥, 𝑦], 𝑧] – [[𝑥, 𝑧], 𝑦] (3) u holda ℒ algebra o‘ng Leybnits algebrasi deyiladi, bu yerda [−, −] − ℒ algebrada aniqlangan ko‘paytirish amali. Leybnits algebralari toifasini ℒ𝔅 bilan belgilaymiz. Eslatib o‘tamiz, har qanday Leybnitsda algebra o‘ziga xos xususiyatlarga ega [𝑥, [𝑦, 𝑦]] = 0, [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [𝑥, [𝑧, 𝑦]] = 0 (4) Bu Leybnitsning to‘g‘ri shaxsiyatining bevosita oqibatlari (1). Aniq ketma-ketlik

0 → ℒ1

𝑖

→ ℒ 𝑝

→ ℒ2 → 0 Agar ℒ1 abelian Leybnits algebrasi bo‘lsa, Leybnits algebralari va Leybnits algebra gomomorfizmlari abelian deyiladi. Agar ℒ ning markaziy subalgebrasi 𝐼𝑚(𝑖) bo‘lsa, u holda markaziy deyiladi, ya’ni [𝑖(𝑎), 𝑥] = 0 = [𝑥, 𝑖(𝑎)] barcha 𝑥 ∈ ℒ va 𝑎 ∈ ℒ1 uchun. ℒ Leybnits algebrasi bo‘lsin. [𝑥, 𝑥], 𝑥 ∈ ℒ ko‘rinishidagi elementlar orqali hosil qilingan ℒ ning submoduli ℒ𝑎𝑛𝑛 bilan belgilanadi. Bu ℒ ning ikki tomonlama idealidir. ℒ/ℒ𝑎𝑛𝑛 Lie algebraning qismi ℒ𝐿𝑖𝑒 bilan belgilanadi va ℒ ning Lizatsiyasi deb ataladi. ℒ ⟼ ℒ𝐿𝑖𝑒 funktsiyasi 𝔏𝔍𝔈 ⊂ ℒ𝔅 qo‘shilishining chap birikmasi. 𝔐𝔒𝔇 ⊂ ℒ𝔅 ning kiritilishi shuningdek, ℒ ⟼ ℒ𝑎𝑏 ∶= ℒ/[ℒ, ℒ] tomonidan berilgan chap qo‘shimcha funktorga ega. ℒ𝑎𝑏 moduli ℒ ning ablizatsiyasi deb nomlanadi. Lemma.1. ℒ chap Leybnits ayniyatini qanoatlantiradigan Leybnits algebrasi bo‘lsin: [[𝑥, 𝑦], 𝑧] = [𝑥, [𝑦, 𝑧]] − [𝑦, [𝑥, 𝑧]]. (5) U holda quyidagi xossalar o‘rinli: i) [[𝑥, 𝑥], 𝑦] = 0, ii) [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [[𝑦, 𝑥], 𝑧] = 0, iii) [[𝑥, 𝑦], 𝑧] + [𝑧, [𝑥, 𝑦]] = 0, iv) [[𝑦, 𝑧], 𝑥] = [[𝑥, 𝑧], 𝑦] − [[𝑥, 𝑦], 𝑧], v) [[[𝑎, 𝑏], 𝑐], 𝑑] = [[[𝑑, 𝑐], 𝑎], 𝑏] − [[𝑑, 𝑐], 𝑏], 𝑎] − [[[𝑑, 𝑎], 𝑏], 𝑐] + [[[𝑑, 𝑏], 𝑎], 𝑐], vi) 2[[𝑥, 𝑦], [𝑥, 𝑦]] = 0. Isbot i) xossani olish uchun (5) tenglikda 𝑥 = 𝑦 ni olamiz.

ii) identifikator bu i) ning rasmiy natijasidir.

iii) munosabati (3) va (5) identifikatorlarni qo‘shish orqali olinishi mumkin.

+ { [𝑥, [𝑦, 𝑧]] = [[𝑥, 𝑦], 𝑧]– [[𝑥, 𝑧], 𝑦]

[[𝑥, 𝑦], 𝑧] = [𝑥, [𝑦, 𝑧]] − [𝑦, [𝑥, 𝑧]]

[𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [[𝑥, 𝑦], 𝑧] = [[𝑥, 𝑦], 𝑧] − [[𝑥, 𝑧], 𝑦] + [𝑥, [𝑦, 𝑧]] − [𝑦, [𝑥, 𝑧]],

[𝑥, [𝑦, 𝑧]] − [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [[𝑥, 𝑦], 𝑧] − [[𝑥, 𝑦], 𝑧] = − [[𝑥, 𝑧], 𝑦] − [𝑦, [𝑥, 𝑧]], 0 = − [[x, z], y] − [y, [x, z]] = [[x, y], z] + [z, [x, y]] = 0.

iv) ni hosil qilish uchun iii) va (3.1.1) tenglik ishlatiladi:

[[y, z], x] = − [[x, [y, z]] = [[x, y], z] − [[x, y], z]. v) munosabatni iv) dan chiqarish mumkin, agar 𝑦 = [𝑎, 𝑏], 𝑧 = 𝑐, 𝑥 = 𝑑 qo‘yilib, (1) tenglikdan foydalanamiz: [[[𝑎, 𝑏], 𝑐], 𝑑] = [[𝑑, 𝑐], [𝑎, 𝑏]] − [[𝑑, [𝑎, 𝑏]], c]

= [[[𝑑, 𝑐], 𝑎], 𝑏] − [[[𝑑, 𝑐], 𝑏], 𝑎] − [[[𝑑, 𝑎], 𝑏], 𝑐] + [[[𝑑, 𝑏] , 𝑎], 𝑐]. vi) ni isbotlash uchun v) tenglikda 𝑎 = 𝑑 = 𝑥 𝑣𝑎 𝑏 = 𝑐 = 𝑦 ni olamiz: [[[𝑥, 𝑦], 𝑦], 𝑥] = [[𝑥, 𝑦], 𝑥], 𝑦] − [[𝑥, 𝑦], 𝑦], 𝑥] − [[[𝑥, 𝑥], 𝑦], 𝑦] + [[[𝑥, 𝑦], 𝑥], 𝑦]. o‘ziga xoslik bo‘yicha i) uchinchi yig‘indi yo‘qoladi va quyidagilar mavjud

2[[[𝑥, 𝑦], 𝑦], 𝑥]] = 2[[[𝑥, 𝑦], 𝑥], 𝑦]. Endi vi) xossa (1) yordamida olinishi mumkin:

2[[𝑥, 𝑦], [𝑥, 𝑦]] = 2[[[𝑥, 𝑦], 𝑥], 𝑦] − 2[[[𝑥, 𝑦], 𝑦], 𝑥] = 0. Ta’rif.5. 𝐴 Leybnits algebrasi simmetrikdir, agar u (5) chap Leybnits ayniyatini qanoatlantirsa va [[𝑥, 𝑦], [𝑥, 𝑦]] = 0. (6) Ta’rifga ko‘ra, Lemma-(1) da aniqlangan barcha o‘ziga xosliklarga egamiz. U holda, xuddi shu Lemmaning vi) ga ko‘ra, agar ℒ dagi ikki burilish nolga teng bo‘lsa, (5)- ta’rifdagi (6) shart ortiqcha bo‘ladi. Leybnits algebralarining simmetrik toifasi 𝔖𝔏𝔅 bo‘lsin. Ko‘rinib turibdiki, Li algebralari aynan simmetrik Leybnits algebralari bo‘lib, ular uchun [𝑥, 𝑥] = 0 xossa o‘rinlidir. Xususan, quyidagi 𝔏𝔍𝔈 ⊂ 𝔖𝔏𝔅 ⊂ 𝔏𝔅 ketma-ketliklar mavjud. ℒ simmetrik Leybnits algebrasi bo‘lsin. U holda Lemma-(3.1.1) bo‘yicha

[ℒ , ℒ𝑎𝑛𝑛] = 0 = [ ℒ𝑎𝑛𝑛, ℒ]. tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, Leybnits algebralarining markaziy kengaytmasi mavjud 0 ⟶ ℒ𝑎𝑛𝑛 → ℒ → ℒ𝐿𝑖𝑒 → 0. Bizga 𝑉 modulning ikkinchi bo‘linish darajasi Г2𝑉 kerak bo‘ladi. Eslatib o‘tamiz, Г2𝑉 modul sifatida quyidagi x[2], 𝑥 ∈ 𝑉 elementlar orqali hosil qilinadi. Ushbu hosil qilingan quyidagi munosabatlarni qanoatlantirishi kerak. (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)[2] − (𝑥 + 𝑦)[2] − (𝑥 + 𝑧)[2] − (𝑦 + 𝑧)[2]+𝑥[2]+𝑦[2] + 𝑧[2] = 0, (𝑘𝑥)[2] = 𝑘2𝑥[2]. Bu yerda 𝑘 ∈ 𝐾 𝑣𝑎 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉. Quyidagini keltiramiz: 𝑥 ∙ 𝑦 = (𝑥 + 𝑦)[2] − 𝑥[2] − 𝑦[2]. Quyidagi belgilanishni keltiramiz: 𝑥 · 𝑥 = 2 𝑥[2]. Ta’rifdan kelib chiqadiki, 𝑥 · 𝑦 teng chiziqli, 𝑥 va 𝑦 da simmetrikdir. Agar 𝒱 ozod modul bo‘lsa, u holda Г2𝑉 qisqa aniq ketma-ketlikka mos keladi 0 ⟶ Г2𝑉 𝑖

→ 𝑉 ⨂2 → 𝛬2𝑉 → 0, (7)

u holda 𝑖(𝑥[2]) = 𝑥⨂𝑥, 𝑖(𝑥 · 𝑦) = 𝑥⨂𝑦 + 𝑦⨂𝑥 ekanligiga e’tibor beramiz. Eslatib o‘tamiz, agar ikki 𝐾 da teskari bo‘lsa, u holda 𝑥 ⨂ 𝑦 ⟶ x · y bilan berilgan 𝑉⨂2 → Г2𝑉 akslantirish Sym2(𝑉) ≅ Г2𝑉 izomorfizmni beradi. Bu yerda va boshqa joylarda Sym2 ikkinchi simmetrik darajani bildiradi. Lemma.2. i) ℒ simmetrik Leybnits algebrasi bo‘lsin. U holda aniq belgilangan chiziqli akslantirish 𝜎 ∶ Г2ℒ𝑎𝑏) → ℒ tomonidan berilgan bo‘lsin:

𝜎 (𝑥̅ [2]) = [𝑥, 𝑥]. ii) Leybnits algebralari va Leybnits algebra gomomorfizmlarining

Г2(ℒ𝑎𝑏) 𝜎

→ ℒ ⟶ ℒ𝐿𝑖𝑒 ⟶ 0 aniq ketma-ketligi bor, bu yerda Г2(ℒ𝑎𝑏) abelian Leybnits algebrasi deb qaraladi. Bundan tashqari 𝐼𝑚(𝜎) − ℒ ning markaziy subalgebrasi. Isbot. i) har qanday 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℒ uchun quyidagilar mavjud:

[𝑥 + [𝑦, 𝑧], 𝑥 + [𝑦, 𝑧]] = [𝑥, 𝑥] + [𝑥, [𝑦, 𝑧]] + [[𝑦, 𝑧], 𝑥] + [[𝑦, 𝑧], [𝑦, 𝑧]] = [𝑥, 𝑥]. Bu yerda (1)-Lemmaning iii) va vi) xossalaridan foydalandik. Shunday qilib 𝜎 aniq belgilangan. ii) Ta’riflarni taqqoslab ko‘rsak, 𝐼𝑚(𝜎) = ℒ𝑎𝑛𝑛 ekanligini ko‘ramiz. Eslatib o‘tamiz, agar ℒ = [ℒ , ℒ ] bo‘lsa, ℒ Leybnits algebrasi mukammal hisoblanadi. Xulosa.1. Har qanday mukammal simmetrik Leybnits algebrasi Li algebrasidir. Isbot. Bu holda ℒ𝑎𝑏 = 0 bo‘ladi. Demak, ℒ → ℒ𝐿𝑖𝑒 (2)-Lemmaning ii) qismi tufayli izomorfizmdir. Esda tutamizki, 𝑉 ozod modul tomonidan yaratilgan Li algebrasi 𝐿𝑖𝑒(𝑉) tabiiy baholashga ega 𝐿𝑖𝑒(𝑉) = 𝐿𝑖𝑒1(𝑉)⨁𝐿𝑖𝑒2(𝑉)⨁ 𝐿𝑖𝑒2(𝑉)⨁ 𝐿𝑖𝑒3(𝑉)⨁ ∙∙∙, bu yerda Lie𝑛(𝑉), 𝑉 elementlarining barcha 𝑛 −qatlamli kommutatorlarini qamrab oladi. 𝑛 = 1 va 𝑛 = 2 uchun quyidagilar: Lie1(𝑉) = 𝑉 va Lie2(𝑉) = ∧2 𝑉 mavjud. Shuningdek, [6] 𝑉 moduli tomonidan yaratilgan ozod Leybnits algebrasi 𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) ham quyidagicha baholanadi: 𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) = 𝑉 ⨁ 𝑉⨂2 ⨁ 𝑉⨂3 ⨁ ··· , u holda 𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) dagi qavs yagona qoida bo‘yicha aniqlanadi: [𝜔, 𝑣] = 𝜔 ⨂ 𝑣. Bu yerda 𝜔 ∈ 𝑉⨂𝑛, 𝑛 ≥ 1, 𝑣 ∈ 𝑉. Xususan quyidagi akslantirish

𝜋𝑛: 𝑉⨂𝑛 → 𝐿𝑖𝑒𝑛(𝑉) orqali berilgan

𝑣1⨂ . . . ⨂ 𝑣𝑛 ⟼ [[[𝑣1, 𝑣2], ∙ ∙ ∙ 𝑣𝑛−1], 𝑣𝑛]] Leybnits algebralarining sur’ektiv darajali gomomorfizmini belgilaydi 𝜋 ∶ 𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) ⟶ 𝐿𝑖𝑒(𝑉), Bu esa aniq (Leib(V))𝐿𝑖𝑒 ≅ 𝐿𝑖𝑒(𝑉) izomorfizmini keltirib chiqaradi. U holda 𝜋 akslantirish birinchi darajali izomorfizm ekanligi kelib chiqadi. Bizning keyingi maqsadimiz 𝑉 tomonidan yaratilgan erkin simmetrik Leybnits algebra 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) ni tasvirlashdir. Shubhasiz, 𝜋 gomomorfizm quyidagi ketma-ketlikka ega 𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) 𝜔1

→ 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) 𝜔2

→ 𝐿𝑖𝑒(𝑉), bu yerda 𝜔1 va 𝜔2 sur’ektiv Leybnits algebrasi gomomorfizmlari. Tasdiq.1. 𝑉 erkin modul bo‘lsin. U holda ℒ = 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) uchun Leybnits algebralarining markaziy kengaytmasi mavjud. 0 ⟶ Г2(ℒ𝑎𝑏) σ

→ ℒ → ℒ𝐿𝑖𝑒 ⟶ 0. Isbot. Leybnits va simmetrik Leybnits algebralarini aniqlovchi munosabatlar 3 darajali bo‘lganligi sababli erkin Leybnits va simmetrik Leybnits algebralari birinchi va ikkinchi darajalarda bir xil komponentlarga ega bo‘lib, ular mos ravishda 𝑉 = (ℒ𝑎𝑏) va 𝑉⨂2 ga ega. U holda 𝜎 ning inektivligi (7) ketma-ketlikdan kelib chiqadi. Qolganlari Lemma-(2) dan kelib chiqadi. Xulosa.2. 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) erkin simmetrik Leybnits algebrasi 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) = ⨁

𝑛 ≥ 0 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛(𝑉) darajalangan moduldir. U holda quyidagi akslantirish

𝜔1𝑛: 𝑉⨂ 𝑛 ⟶ 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛(𝑉) 𝑛 = 1, 2 bo‘lganda izomorfizmdir,

𝜔2𝑛: 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛(𝑉) ⟶ Lie𝑛(𝑉) yuqoridagi akslantirishda esa 𝑛 ≥ 3 bo‘lsa izomorfizmdir. U holda quyidagiga egamiz 𝑆𝑦𝑚𝐿𝑒𝑖𝑏(𝑉) = 𝑉 ⨁ 𝑉⨂ 2 ⨁ 𝐿𝑖𝑒3(𝑉) ⨁ 𝐿𝑖𝑒4(𝑉) ··· . Endi biz simmetrik Li 𝜇 − algebra tushunchasini, qisqacha Li ∑ 𝜇 − algebra tushunchasini kiritamiz. Simmetrik 𝜇 − algebrasi uning alohida qismi bo‘lgan Li 𝜇 − algebrasini o‘rganishni maqsad qilish orqali asoslanadi. Ta’rif.6. Agar (𝐿, [−, −]) Li algebrasida 𝜇: 𝐿 ⨂ 𝐿 → 𝐿 ko‘paytma aniqlangan bo‘lib, quyidagi ayniyatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda (𝐿, 𝜇) juftlikka Simmetrik ∑ 𝜇 −algebrasi deyiladi. Quyidagi ayniyatlar bajariladi:

i) 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑦, 𝑥),

ii) 𝜇(𝑥, 𝜇(𝑦, 𝑧)) = 0 = 𝜇(𝜇(𝑥, 𝑦), 𝑧),

iii) 𝜇(𝑥, [𝑦, 𝑧]) = 0,

iv) [𝜇(𝑥, 𝑦), 𝑧] = 0. U holda {−, −} ko‘paytma 𝑚 va 𝑥𝑦 = 𝜇(x⨂y) lardagi Li qavsini bildiradi. Birinchi ikkita identifikator shuni ko‘rsatadiki (𝑚, 𝜇) juftlik ikkinchi sinfning komutativ, assotsiativ nilpotent algebrasidir. Aksincha, har qanday bunday algebrani trivial qavsli Li ∑ 𝜇 −algebrasi sifatida qarash mumkin. Har qanday Li algebrasini 𝑥𝑦 = 0 ko‘paytma nolga teng bo‘lgan Li ∑ 𝜇 −algebra deb hisoblash mumkin. Xususan, har qanday modul, trivial qavs va trivial ko‘paytmali Li ∑ 𝜇 −algebraning tuzilishiga ega. Bunday Li ∑ 𝜇 −algebralari abelian Li ∑ 𝜇 − algebralari deyiladi. Li ∑ μ −algebraning 𝑚 Li ∑ μ −ideali, a submodul bo‘lib, [𝑚, 𝑎] ⊂ a va 𝑚𝑎 ⊂ 𝑎 bo‘ladi. Bundan tashqari, agar 𝑎 markaziy ∑ 𝜇 −ideal bo‘lsa, [𝑚, 𝑎] = 0 = 𝑚𝑎 bo‘ladi. (2)-ta’rifning iv) bandidan 𝐼𝑚(𝜇) submodul 𝑚 ning markaziy ideali ekanligi kelib chiqadi. Qism algebra 𝑔 = 𝑚𝐿𝑖𝑒 bilan belgilanadi va 𝑚 ning Lizatsiyasi deyiladi. Li ∑ 𝜇 −algebrasining ablizatsiyasi 𝑚 moduli g𝑎𝑏 bo‘lib, uni asosiy Li algebrasining ablizatsiyasi bo‘lgan 𝑚𝑎𝑏 dan farqlash uchun 𝑚𝐴𝐵 bilan belgilanadi. Oxirgi ob’ekt ikkinchi sinfning kommutativ, assotsiativ nilpotent algebrasining kanonik tuzilishiga ega, chunki iii) xossa bo‘yicha Li kommutatori [𝑚, 𝑚] asosiy komutativ algebraning idealidir.

Lemma.3. ∑ 𝜇 −algebra 𝑚 uchun Sym2(m𝐴𝐵) orqali 𝜇 ∶ 𝑚 ⨂ 𝑚 ⟶ 𝑚 ko‘paytma ∑ 𝜇 −algebralarning aniq ketma-ketligini hosil qiladi Sym2(m𝐴𝐵) 𝜇′

→ 𝑚 ⟶ 𝑔 ⟶ 0, bu yerda 𝑔 = 𝑚𝐿𝑖𝑒, 𝜇′ (𝑥̅ ⊙ 𝑦̅ )= 𝑥𝑦 va Sym2(m𝐴𝐵) abelian Li ∑ 𝜇 −algebra sifatida qabul qilinadi. Bu yerda 𝑚𝐴𝐵 ichidagi 𝑥̅ , 𝑥 ∈ 𝑚 sinfini bildiradi. Bundan tashqari 𝐼𝑚(𝜇′) 𝑚 ning markaziy ∑ 𝜇 −idealidir. Isbot. Bizning tuzishimiz bo‘yicha biz aniq ketma-ketlikka egamiz:

𝑚 ⨂ 𝑚 𝜇

→ 𝑚 → 𝑔 → 0. i) identifikatoriga ko‘ra 𝜇 akslantirish, Sym2(𝑚) orqali ta’sir qiladi. Keyingi, ii) identifikatoriga ko‘ra Sym2(m𝐿𝑖𝑒) orqali qo‘shimcha. iii) identifikatorlaridan kelib chiqadiki, bu akslantirish 𝑚𝐴𝐵 ning ikkinchi simmetrik darajasiga ta’sir qiladi va natijani beradi. Li algebra 𝑔, agar undagi yagona ∑ 𝜇 −algebra tuzilishi trivial bo‘lsa, ∑ 𝜇 −qattiq deb ataladi: 𝑥𝑦 = 0, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑔.

Xulosa.3. 𝑚 Lie algebra, 𝑚 ning markazi 𝔷 va ℎ = 𝑚/[𝑚, 𝑚] bo‘lsin.

i) 𝑚 ustidagi har qanday ∑ 𝜇 − algebra tuzilishi 𝑥̅ ⊙ 𝑦̅ ⟼ 𝑥𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑚 bilan

berilgan Sym2(η) ⟶ 𝔷, chiziqli akslantirish bilan aniqlanadi.

ii) Ф ∶ Sym2(η) ⟶ 𝔷 chiziqli akslantirishdan boshlab, 𝑥𝑦 ∶= Ф(𝑥̅ ⊙ 𝑦̅ ),

𝑥, 𝑦 ∈ 𝑚 ni aniqlaymiz. Ushbu 𝑚 ga ko‘paytirish ii) dan tashqari (3.1.2.)-

ta’rifning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Agar qo‘shimcha ravishda 𝔷 ∈

[𝑚, 𝑚] bo‘lsa, bu ko‘paytma 𝑚 dagi ∑ 𝜇 −algebra tuzilishini aniqlaydi.

iii) 𝑚 Lie algebra, agar 𝑚 mukammal yoki 𝑚 ning markazi trivial

bo‘lsa, ∑ 𝜇 −qattiq bo‘ladi. Isboti. (1)-xulosaga misol tariqasida 𝑚 ni 2𝑘 + 1 o‘lchamdagi Heisenberg Lie algebrasi sifatida qabul qilishimiz mumkin. Asosi x𝑖 … x𝑘 , y𝑖 … y𝑖 , 𝑧 bo‘lib, {x𝑖 , y𝑖} = 𝑧 bo‘lsin, barcha 𝑖 = 1, . . . , 𝑘 va boshqa norivial qavslar uchun nolga teng. 𝐼 ⊂ {1, . . . , 𝑘} kichik to‘plamni tanlaymiz va ∑ 𝜇 −algebra tuzilishini quyidagicha aniqlaymiz x𝑖𝑧 = zx𝑖 = y𝑖𝑧 = 𝑧y𝑖 = 𝑧𝑧 = 0,

x𝑖y𝑖 = y𝑖x𝑖 = {𝑧 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑖 = 𝐼,

0 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑖 ≠ 𝐼, x𝑖y𝑗 = y𝑗x𝑖 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗. Tasdiq.2. Lie∑ 𝜇(𝑉) ozod moduli 𝑉 tomonidan hosil qilingan ozod Li ∑ 𝜇 −algebra bo‘lsin. U holda 𝜇′ akslantirish Lemma.3. dan inektsion va shuning uchun Li ∑ 𝜇 −algebralarining markaziy kengaytmasiga ega: 0 → 𝑆𝑦𝑚2(𝑉) 𝜇′

→ 𝐿𝑖𝑒∑ 𝜇(𝑉) → 𝐿𝑖𝑒(𝑉) → 0. Isbot. Biz 𝑚 = 𝐿𝑖𝑒∑ 𝜇(𝑉) ni belgilaymiz. 𝔏𝔍𝔈 ⊂ ℒ𝔅 𝑓𝑜𝑟𝑔𝑒𝑡

→ 𝔐𝔒𝔇 kompozit funktorning chap birikmasi mos keladigan chap qo‘shma funktorlarning kompozitsiyasi bo‘lgani uchun bizda m𝐿𝑖𝑒 = 𝐿𝑖𝑒(𝑉) mavjud. Shu kabi mulohazalar bilan m𝐴𝐵 ≅ 𝑉. Oddiylik uchun biz ushbu modullarni aniqlaymiz. Bizda mavjud bo‘lgan 𝜇′ akslantirish uchun quyidagilar mavjud 𝜇′(𝑢 ⊙ 𝑣) = 𝑢𝑣. Bu yerda 𝑢, 𝜗 ∈ 𝑉 = 𝑚𝐴𝐵 𝑣𝑎 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑚. Ikkinchi sinfdagi har qanday kommutativ, assotsiativ nilpotent algebrani trivial qavsli Li ∑ 𝜇 −algebrasi deb hisoblash mumkin. Xususan, 𝑉 tomonidan yaratilgan bunday ozod algebrani olishimiz mumkin, ya’ni

𝐶𝑜𝑚. 𝐴𝑠𝑠. 𝑁𝑖𝑙𝑙2(𝑉) = 𝑉⨁ 𝑆𝑦𝑚2(𝑉), bu yerda 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, 𝜔, 𝜔1 ∈ 𝑆𝑦𝑚²(𝑉) uchun bitta to‘plam mavjud 𝑥𝑦: = 𝑥 ⊙ 𝑦 ∈ 𝑆𝑦𝑚2(𝑉), 𝑥 𝜔 = 0, {𝑥, 𝑦} = 0 {𝑥, 𝜔} = 0, {𝜔, 𝜔1} = 0. Ozod Li ∑ 𝜇 −algebralarining universal xususiyati bo‘yicha 𝐼𝑑𝑉 identifikatsiya akslantirishining noyob kengaytmasi mavjud: 𝑐: 𝐿𝑖𝑒∑ 𝜇 (𝑉) → 𝐶𝑜𝑚. 𝐴𝑠𝑠. 𝑁𝑖𝑙𝑙2(𝑉). Har qanday 𝑥, 𝑣 ∈ 𝑉 uchun quyidagini hosil qilamiz 𝑐⃘ 𝜇′(𝑢 ⊙ 𝑣) = 𝑐(𝑢𝑣) = 𝑐(𝑢)𝑐(𝑣) = 𝑢 ⊙ 𝑣. U holda 𝑐⃘ 𝜇′ = 𝐼𝑑𝑆𝑦𝑚2(𝑉) bo‘ladi va natija chiqadi.

Adabiyotlar ro’yxati;

1. Ayupov Sh. A, Omirov B. A, Rakhimov I. S., 2019. Leibniz Algebras, Structure

and Classification. Taylor & Francis.

2. Jibladze, M., Pirashvili,T. 05 October 2019. Lie theory for symmetric Leibniz

algebras. Journal of Homotopy and Related Structures, (2-9) .

3. Jibladze, M., Pirashvili,T. Leibniz algebras and μ-groups (In preparation).

4. Abdurashidov N.G’., APREL 2022. Simmetrik Leybnits algebralari va ularning

xossalari. “O’ZBEKISTONDA FANLARARO INNOVATSIYALAR VA

ILMIY TADQIQOTLAR” (7), 62-63.

5. Nurmatov, ZO, & Ishqobilov, O. (2023). KOSHI YADROLI SINGULYAR

INTEGRALNI TAQRIBIY HISOBLASH UCHUN OPTIMAL FORMULA

QURISH. Central Asian Journal of Education and Innovation, 2 (5 Part 2), 178-

187.

6. Nurmatov, Z., & Allaberdiev, O. (2023). KASR TARTIBLY INTEGRALARNI

OPTIMAL HISOBLANSH ALGORITHMINI ORGANISHNING NAZARI

ASOSLARI. Central Asian Journal of Education and Innovation , 2 (5 Part 2),

138-147.

7. Nurmatov, ZO, Tursunpulatova, KA, & Nasriddinova, ZN (2023, May). THE

ROLE OF MULTIMEDIA TECHNOLOGIES IN TEACHING FOREIGN

LANGUAGES. In International Conference on Science, Engineering &

Technology (Vol. 1, No. 1, pp. 99-103).

8. Zohidjon, N., & Aliqulov, A. (2023). SOBOLEV FAZOSIDA OPTIMAL

KVADRATUR FORMULALAR QURISH. Central Asian Journal of Education

and Innovation , 2 (5 Part 2), 188-196.

9. Nurmatov, ZO, & Shuhrat o'g'li, AM (2023). FURE INTEGRALLARINI

YAQINLASHTIRISH. O'ZBEKISTONDA FANLARARO

INNOVATSIYALAR VA ILMIY TADQIQOTLAR JURNALI , 2 (19), 892-

899.

10.Islomovich, SE (2023, May). THE ROLE OF QUANTUM COMPUTERS IN

THE DEVELOPMENT OF QUANTUM ALGORITHMS. In

INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCES WITH HIGHER

EDUCATIONAL INSTITUTIONS (Vol. 1, No. 05.05, pp. 557-563).

11.Saidahmedov, E. (2023). KVANT ALGORITMLARNI ISHLAB CHIQISHDA

KVANT KOMPYUTERLARINING O ‘RNI. Наука и инновация, 1(1), 58-64.

12.Ziyatovich, M. F., & Islom o'g'li, X. S. (2023). SUN'IY INTELLEKT VA

UNING TA'LIM SOHASIGA ALOHIDA MUROJAAT QILGAN HOLDA

TURLI SOHALARDAGI QAMROVI. ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И

ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ, 16(3), 16-19.

13.Islomovich, S. E. (2023, March). MAVZU: ELEKTRON RAQAMLI IMZO VA

BULUT TEXNOLOGIYALARI: FOYDALANISH MASALALARI TAHLILI.

In Proceedings of Scientific Conference on Multidisciplinary Studies (Vol. 2,

No. 3, pp. 31-34)